全微分→行列

全微分とかいう俺の心をポッキリと折るような意味不明な概念ってあるよね。
さっぱりわからなかったので授業資料読みながら概念を理解しようってしたわけよ。

まず定義。関数f:R^m→R^nがc∈R^mで全微分可能とは
∃g:N^m→N^n (線形写像) ,∀ε > 0 , ∃δ > 0 , |v| < δ ⇒ |f(c+v) - f(c) - g(v)| < ε|v|
であること。gは線形写像だからn×m行列Gが存在して g(v) = Gv とできるから
∃G∈M(R , n , m) ,∀ε > 0 , ∃δ > 0 , | v | < δ ⇒ | f(c+v) - f(c) - G(v) | < ε| v |
さらにランダウの記号を用いれば
f(c+v) = f(c) + Gv + O(| v |)
つまり全微分とは線形写像による近似であって
したがって(あくまで形式的な言い方だが)行列を作る操作である
この行列はヤコビ行列である

それがどうしたって話だがこのように考えるだけで結構楽になる
例えばf,g:R^m→R^nのcによる全微分で生成される行列をそれぞれF,Gとすると
a,b∈Rについてh=af+bgによる全微分で生成される行列Hは
(af+bg)(c+v) = af(c+v) + bg(c+v)
　　　　　　= af(v) + aFv + O(|v|) + bg(v) + bGv + O(|v|)
　　　　　　= (af+bg)(v) + (aF+bG)v + O(|v|)
　　　　　　= h(v) + Hv + O(|v|)
したがって　H = aF + bG
他にもf:R^m→R^n,g:R^k→R^mについてh(c) = f(g(c)) とするとき
g(c)におけるfの全微分をF、cにおけるgの全微分をGとするとhのcにおける全微分Hは
f(g(c+v)) = f(g(c) + Gv + O(|v|))
　　　　　= f(g(c)) + F(Gv+O(|v|)) + O(|v|)
　　　　　= h(c) + FGv + O(|v|)
　　　　　= h(c) + Hv + O(|v|)
のため　H = FG　だ

ほんとにそれがどうしたって話だが漠然と写像、と思うよりは楽だよねって話。

天秤であそぼー(爆)

まずはこのひなぶさんのツイートを見てくれ

幾つかの分銅と一つの天秤を使って1gから120gまでの質量を1g刻みで量れるようにしたいです。さて、分銅は幾つ必要？

— ひなぶ (@7bitm) June 26, 2013

あまりに唐突すぎたがそんなことはどうでもいい。
これを私は考えていた。講義中に。
素朴に考えれば7個あれば確実である。すなわち1,2,4,8,16,32,64gの分銅があれば二進数の考えで127gまでは測れる。
もちろんそんな単純な話ではない。とんちを効かせればもっと減らせるだろうことはすぐにわかる。
というわけで私はとんちを効かせようと頑張っていた。

で、閃いた。反対の更に置けばよいのではないか。
例えば片方に3g、もう片方に1gの分銅を置けば2gを測ることができる。
これを用いれば個数が減らせる…

さて、ここで数学的準備をしよう。
集合A_nをn個の自然数の集合とし、a_iをその元とする。(i=1,…,n)
また数列{b_i}についてb_i∈{-1,0,1}とする。
整数mに対し∃{b_i},m=Σ(i=1→n)(a_i)(b_i)を満たすとき
「mはA_nで表現可能」と呼ぶことにする。A_nで表現可能な整数の集合をS_nとしよう。
またX⊆Zとa,b∈Z,a＜bに対し∀m∈Z,[a≦m≦b⇒m∈Z]を満たすとき
「Zはaからbで整数上連続」と呼ぶことにする。つまりaからbまでの整数を網羅しているということだ。
連続、といっても一般の言い方的な連続であり数学における連続とは何ら関係のないことに注意する。
A_nで表現可能な自然数mについてmグラムは天秤で表現可能だ。
なぜなら分銅iをa_iグラムとしb_iの値に対し分銅iを
-1なら同じ側、0なら置かない、1なら反対側に置けばmグラムであるか判別可能だからだ。

さて、ここで以下の命題を証明しよう。

『a_i=3^(i-1)のときS_nは-[(3^n)-1]/2から[(3^n)-1]/2で整数上連続である。』

1≠2 Part3

ゲーム作ってたらアクセス違反とか吐きやがった。
現在修整中。てなわけで1=2第3弾。中高生シリーズの続きだよ～
※7/21追記　修正すべきはあと1つだったっぽいのでここに書いとく。

・三角関数の約分を利用した証明
tanとsinはそれぞれで一つの関数名です。

・Euler（オイラー）の公式による証明
複素数の自然対数は多価正則関数らしい。つまり異なるθで同じ値を吐き出す。参考

・根号の累乗を用いた証明
数Ⅲの知識で正確な値を求められます。2011年の同志社大理系で誘導付きで出ました

・極限を使った証明
無限乗根ってなんだよ！

・sinの極限を用いた証明
もはや意味が分からない。sinπ/6は定数です。