関数方程式

突然ですが、以下の問題を解いてみてください
『関数f(x)は全ての実数で定義され、かつ微分可能であるとし、
　任意の2実数x,yについてf(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つとするとき、f(x)を求めよ』
あ、明日が数Ⅲのテストだからこんな問題出したんだからじゃないんだからね!?
思いついたから出してるんだからね!?

明日はエキシビジョンマッチ(俺VS数Ⅲ)か…

解答
x=y=0のとき、f(0)=2f(0)となるからf(0)=0である。
また与式をyについて微分すると、xはyに無関係な数であるから
f'(x+y)=f'(y)
y=0を代入して
f'(x)=f'(0)
ここでf'(0)=aとし、また両辺のxについての不定積分を考え
f(x)=ax+C(Cは積分定数)
f(0)=0よりC=0
以上f(x)=ax

いかがだったでしょうか
30分も考えずにあきらめて答えを見た人は反省してしっかり考えてください
1時間考えても答えがわからなかった人は仕方ありません
てか、この答微分方程式習って初めてわかったという…