まずはこのひなぶさんのツイートを見てくれ
あまりに唐突すぎたがそんなことはどうでもいい。
これを私は考えていた。講義中に。
素朴に考えれば7個あれば確実である。すなわち1,2,4,8,16,32,64gの分銅があれば二進数の考えで127gまでは測れる。
もちろんそんな単純な話ではない。とんちを効かせればもっと減らせるだろうことはすぐにわかる。
というわけで私はとんちを効かせようと頑張っていた。
で、閃いた。反対の更に置けばよいのではないか。
例えば片方に3g、もう片方に1gの分銅を置けば2gを測ることができる。
これを用いれば個数が減らせる…
さて、ここで数学的準備をしよう。
集合A_nをn個の自然数の集合とし、a_iをその元とする。(i=1,…,n)
また数列{b_i}についてb_i∈{-1,0,1}とする。
整数mに対し∃{b_i},m=Σ(i=1→n)(a_i)(b_i)を満たすとき
「mはA_nで表現可能」と呼ぶことにする。A_nで表現可能な整数の集合をS_nとしよう。
またX⊆Zとa,b∈Z,a＜bに対し∀m∈Z,[a≦m≦b⇒m∈Z]を満たすとき
「Zはaからbで整数上連続」と呼ぶことにする。つまりaからbまでの整数を網羅しているということだ。
連続、といっても一般の言い方的な連続であり数学における連続とは何ら関係のないことに注意する。
A_nで表現可能な自然数mについてmグラムは天秤で表現可能だ。
なぜなら分銅iをa_iグラムとしb_iの値に対し分銅iを
-1なら同じ側、0なら置かない、1なら反対側に置けばmグラムであるか判別可能だからだ。
さて、ここで以下の命題を証明しよう。
『a_i=3^(i-1)のときS_nは-[(3^n)-1]/2から[(3^n)-1]/2で整数上連続である。』
